13.1: La matriz inversa (también conocida como A^-1)

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Para algunas (no todas) matrices cuadradas\(A\), existe una matriz especial llamada Matriz inversa, que normalmente se escribe como\(A^{-1}\) y cuando se multiplica por\(A\) los resultados en la matriz de identidad\(I\):

\[ A^{-1}A = AA^{-1} = I \nonumber \]

Algunas propiedades de una Matriz Inversa incluyen:

\((A^{-1})^{-1} = A\)
\((cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}\)
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
\((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)
\((A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top\)aquí\(A^\top\) está el tranpose de la matriz\(A\).

Si sabes que\(A^{−1}\) es una matriz inversa a\(A\), entonces resolver\(Ax=b\) es simple, simplemente multiplica ambos lados de la ecuación por\(A^{−1}\) y obtienes:

\[A^{-1}Ax = A^{-1}b \nonumber \]

Si aplicamos la definición de la matriz inversa desde arriba podemos reducir la ecuación a:

\[Ix = A^{-1}b \nonumber \]

Sabemos que los\(I\) tiempos\(x\) son justos\(x\) (definición de la matriz de identidad), así que esto se reduce aún más a:

\[x = A^{-1}b \nonumber \]

Para concluir, resolver\(Ax=b\) cuando sabes\(A^{-1}\) es realmente sencillo. Todo lo que necesitas hacer es multiplicar\(A^{-1}\) por\(b\) y ya sabes\(x\).

Hacer esto

Encuentra un comando numpy de Python que calculará el inverso de una matriz y lo usará para invertir la siguiente matriz A. Almacenar la inversa en un nuevo matirx llamado A_inv

import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing(use_unicode=True) # Trick to make matrixes look nice in jupyter

A = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7,8,7]])

sym.Matrix(A)

#put your answer to the above question here.

Comprobemos su respuesta multiplicando A por A_inv.

A * A_inv

np.allclose(A*A_inv, [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

Pregunta

¿Qué función utilizaste para encontrar la inversa de la matriz\(A\)?

¿Cómo creamos una matriz inversa?

De asignaciones anteriores, aprendimos que podíamos encadenar un montón de Operaciones de Fila Primaria para obtener matrix (\(A\)) en su forma de Escalón de Fila Reducida. Ahora sabemos que podemos representar Operaciones de Fila Primaria como una secuencia de Matrices Elementarias de la siguiente manera:

\[ E_n \dots E_3 E_2 E_1 A = RREF \nonumber \]

Si\(A\) reduce a la matriz de identidad (\(A\)es decir, es fila equivalente a\(I\)), entonces\(A\) tiene una inversa y su inversa es solo todas las Matrices Elementales multiplicadas juntas:

\[ A^{-1} = E_n \dots E_3 E_2 E_1 \nonumber \]

Considera la siguiente matriz.

\ [A =\ izquierda [
\ begin {matriz}
1 & 2\\
4 & 6
\ end {matriz}
\ derecha]\ nonumber\]

A = np.matrix([[1, 2], [4,6]])

Se puede reducir en una matriz de identidad usando los siguientes operadores elementales

Palabras	Matriz Elemental
Agregar\(-4\) tiempos fila 1 a fila 2.	\(E_1 = \left[\begin{matrix}1 & 0 \\ -4 & 1 \end{matrix}\right]\)
Añadiendo la fila 2 a la fila 1.	\(E_2 = \left[\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\)
Multiplicando fila 2 por\(-\frac{1}{2}\).	\(E_3 = \left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right]\)

E1 = np.matrix([[1,0], [-4,1]])
E2 = np.matrix([[1,1], [0,1]])
E3 = np.matrix([[1,0],[0,-1/2]])

Sólo podemos comprobar que la afirmación parece ser cierta multiplicando todo.

E3*E2*E1*A

matrix([[1., 0.],
        [0., 1.]])

Hacer esto

Combine las Matrices elementales anteriores para hacer una matriz inversa llamada a_Inv

# Put your answer to the above question here.

Hacer esto

Verificar que a_inv es un inverso real y chech que\(AA^{-1} = I\).

# Put your code here.

Pregunta

¿Una matriz invertible es siempre cuadrada? ¿Por qué o por qué no?

Pregunta

¿Es siempre invertible una matriz cuadrada? ¿Por qué o por qué no?

Pregunta

Describir la forma de escalón de fila reducida de una matriz cuadrada e invertible.

Pregunta

¿La siguiente matriz está en la forma Escalón de Fila Reducida?

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {matriz}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

Pregunta

Si la matriz que se muestra arriba no está en forma de Escalón de Fila Reducida. Nombrar una regla que sea violada?

Pregunta

¿Cuál es el tamaño de la matriz descrita en la PREGUNTA anterior?

\(4 \times 6\)
\(6 \times 4\)
\(3 \times 6\)
\(5 \times 3\)

Pregunta

Describir la operación de fila elemental que se implementa mediante la siguiente matriz

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]